昨天我的前同事海大爷忽然问我关于三角函数公式的事情,高考完了这么久之后,我发现我完全忘记了那些和角公式——不但如此,我还忘记了怎样推导的!只能悻悻地在知乎找了个帖子给他。

今天忽然想起,其实我可以用欧拉公式推导一次,推导过程如下:

推导

因为

\[e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}\]

所以1:

\[e^{-ix} = \cos{x} - i\sin{x}\]

两式相加,正负抵消,我们有

\[\cos{x} = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\]

然后我们将 $x=A+B$ 代入上面这条等式中,注意到

\[e^{i(A+B)}=e^{iA}e^{iB}=(\cos{A}+i\sin{A})(\cos{B}+i\sin{B})\]

所以,我们可以知道

\[2 \cos{A+B} = (\cos{A}+i\sin{A})(\cos{B}+i\sin{B}) + (\cos{A}-i\sin{A})(\cos{B}-i\sin{B})\]

最后,做乘法分配律,同类项消除,我们就可以得到余弦的和角公式了:

\[\cos{(A+B)} = \cos{A}\cos{B} - \sin{A}\sin{B}\]

至于其余三角函数的公式,留作习题2

感想

忽然想起这种方法,就好像在一件很久没有穿过的衣服里翻出了10块钱——虽然百无一用,却略带慰藉。

当然,事后我再翻欧拉公式的 wiki 时,我发现 wiki 里面就有这条公式的推导。真是浪费时间。

附注

  1. 注意到 $\sin$ 是奇函数而 \(cos\) 是偶函数 

  2. 打 $\LaTeX$ 公式好累的。