用欧拉公式推导三角函数和角公式

昨天我的前同事海大爷忽然问我关于三角函数公式的事情，高考完了这么久之后，我发现我完全忘记了那些和角公式——不但如此，我还忘记了怎样推导的！只能悻悻地在知乎找了个帖子给他。

今天忽然想起，其实我可以用欧拉公式推导一次，推导过程如下：

推导

因为

e^{i x} = \cos x + i \sin x

$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$

所以¹:

e^{- i x} = \cos x - i \sin x

$e^{-ix} = \cos{x} - i\sin{x}$

两式相加，正负抵消，我们有

\cos x = \frac{e^{i x} + e^{- i x}}{2}

$\cos{x} = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

然后我们将 $x=A+B$ 代入上面这条等式中，注意到

e^{i (A + B)} = e^{i A} e^{i B} = (\cos A + i \sin A) (\cos B + i \sin B)

$e^{i(A+B)}=e^{iA}e^{iB}=(\cos{A}+i\sin{A})(\cos{B}+i\sin{B})$

所以，我们可以知道

2 \cos A + B = (\cos A + i \sin A) (\cos B + i \sin B) + (\cos A - i \sin A) (\cos B - i \sin B)

$2 \cos{A+B} = (\cos{A}+i\sin{A})(\cos{B}+i\sin{B}) + (\cos{A}-i\sin{A})(\cos{B}-i\sin{B})$

最后，做乘法分配律，同类项消除，我们就可以得到余弦的和角公式了：

\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

$\cos{(A+B)} = \cos{A}\cos{B} - \sin{A}\sin{B}$

至于其余三角函数的公式，留作习题²

忽然想起这种方法，就好像在一件很久没有穿过的衣服里翻出了10块钱——虽然百无一用，却略带慰藉。

当然，事后我再翻欧拉公式的 wiki 时，我发现 wiki 里面就有这条公式的推导。真是浪费时间。