拉马努金的数学成就

拉马努金最主要的成就是在1914年到1919年之间，和哈代合作的一系列成果[指南VI.73, 指南VI.82]。其中最著名的成果是关于整数n的分划函数p(n)（p(n)表示整数n分解为不同整数和的组合，比如4，可以表示为4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1,所以p(4)=5）的一篇文章。拉马努金和哈代证明p(n)的渐近公式的方法后来被哈代和李特尔伍德发展成为解析数论[脚注1]最有力的工具之一[指南VI.73]。拉马努金在对p(n)的研究当中，发现了Roger-Ramanujuan恒等式[脚注2]。这些恒等式在不同的领域，比如李理论[ 脚注3]和统计物理[脚注4]，有着广泛的应用。

此外，拉马努金关于p(n)的工作都涉及到模形式[脚注5][指南VI.82]，他提出的拉马努金猜想启发了H.Peterson[脚注6], R.Rankin[脚注7]等关于模形式的广泛研究。该猜想最后被菲尔兹奖获得者P.Deligne[脚注8]证明。

另一个重要的成就是[Hardy–Ramanujan theorem](https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Ramanujan_theorem)[脚注9]，这个定理给出了整数n不同的素因子的个数的大致分布（大约是loglog n)，这个结论后来在1940年被进一步推广，促成了概率数论[脚注10]的诞生。[指南VI.82]

要评论一个数学家的成就，必须将他/她的成果放在数学整体发展中去衡量。

脚注

  1. 解析数论
  2. Roger-Ramanujuan恒等式
  3. 李理论
  4. 统计物理

  5. 模形式 模形式是数学上一个满足一些泛函方程与增长条件、在上半平面上的（复）解析函数。很难在不使用专业术语的条件下解释清楚模形式的研究对象和研究方法。但是可以为它提供一个数学史上的注脚：Andrew Wiles因为证明了费马大定理而闻名，然而他最伟大的成就是证明了志村－谷山猜想（费马大定理只是这个猜想的一个推论），而这个猜想是沟通椭圆曲线和模形式的桥梁。

  6. H.Peterson
  7. R.Rankin
  8. P.Deligne
  9. Hardy–Ramanujan theorem
  10. 概率数论

参考文献

1. [指南]

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